~ * e A r t H ''zZ *~

เย้ๆๆๆๆๆ  ดีใจที่ทำเสร็จแล้ว

จะได้นอนหลับอย่างสบาย!!!

ข้อที่ 1   ในการกระจาย (1+ X )⁴³ ถ้าสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่ (2r + 1) เท่ากับสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่ ( r + 2 ) แล้ว สัมประสิทธิ์ ของพจน์ที่ 3r มีค่าเท่าใด

 

 

ข้อที่ 2  ใช้ทฤษฎีบททวินามในการกระจาย 2,048 โดยให้แต่ละพจน์ของการกระจายเป็นจำนวนเต็ม แล้วพจน์ที่เก้าของการกระจายมีค่าเท่าใด

 

คิดก่อนแล้วค่อยลงไปดูเฉลยน้า

.................................................................................................................................

................................................................................................

........................................................................

.........................................

...........................

................

.......

....

..

.

 

เฉลย   ข้อที่ 1

 

สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่  2 r+ 1  =   สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่  r + 2    

Cn,2r  a^n-2r b^2r                                Cn,r+1  a^n-r b^r 

 C43,2r  a^43-2r b^2r                            C43,r+1  a^43-r b^r 

 

      ดังนั้น                  C43,2r   =   C43,r +1 

                                 2r + r +1  =   43    จาก Cn,r  =   Cn,x   จะได้ r+x = n

                                 3r   =   42

ดังนั้นพจน์ที่ 42 คือ C43,41 (1)^43-41 (X)⁴¹ 

^{ได้สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่ 3r เท่ากับ} C43,41 =  903  Ans

 

เฉลย   ข้อที่ 2

 

เนื่องจาก   2,048  =  2 ¹¹ =  C_11,0 + C_11,1+ C_11,2+… C_11,11

ดังนั้นพจน์ที่  9  คือ C_11,8    = 165     _Ans

 

....................................................................................................................................................

         

 

1.ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที่40 ของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์เท่ากับ 78 คะแนน และมีนักเรียน 8 คน ที่ได้คะแนนเท่ากับหรือน้อยกว่า 78 คะแนน จงหาว่ามีนักเรียนกี่คนที่ได้คะแนนมากกว่า 78 คะแนน
 ตอบ    11 คน

 

2. ในการสอบครั้งหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนห้องนี้เท่ากับ 53 คะแนน แต่จากการตรวจสอบ พบว่ามีข้อสอบของนักเรียนอีก 2 คนที่ยังไม่ได้ตรวจ เมื่อตรวจเสร็จแล้ว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนห้องนี้เท่ากับ 55 คะแนน แลผลรวมของคะแนนสอบเพิ่มขึ้นอีก 180 คะแนน จำนวนนักเรียนในห้องนี้มีเท่าใด

1.  37 คน              2. 35 คน                 3.  33 คน                     4. 31 คน

ตอบ    ข้อ 1    37 คน

 

3.ในการหาค่าเฉลี่ยอุณหภูมิของตู้แช่เย็นเหล่านี้ได้เท่ากับ 6.2 องศาเซลเซียส แต่เขาได้จดอุณหภูมิได้หาค่าพิสัยของอุณหภูมิของตู้แช่เย็นเหล่านี้ได้เท่ากับ 6.2 องศาเซลเซียส แต่เขาจดอุณหภูมิไว้เพียง 9 ค่า และจำได้ว่า ค่าที่หายไปเป็นค่าที่มีค่าต่ำสุด ส่วนอุณหภูมิอื่นเป็น ดังนี้                                     

3.0  4.2  -1.1  0.3  0.1  -0.6  2.1  -0.2  0.0    อุณหภูมิเฉลี่ยของตู้แช่ 10 ตู้มีค่าเท่าไร

ตอบ   0.58

 

4.ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จำนวน มีฐานนิยม มัธยฐาน และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 15 , 16 และ 17 ตามลำดับ และพิสัยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 5 ความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 31/5
2. 24/5
3. 22/5
4. 19/5

ตอบ  ข้อ 3    22/5

 

5. เมื่อสร้างตารางแจกแจงความถี่ของนักเรียน 36 คน โดยใช้ความกล้างของแต่ละอันตรภาคช้น เป็น 10 แล้ว ปรากฎว่ามัยฐานของคะแนนทั้งหมดอยู่ในช่วง 50-59  ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่ำกว่า 49.5 อยู่ 12คนและมีนักเรียนที่ได้คะแนนต่ำกว่า 59.5 อยู่จำนวน 20 คนแล้วมัธยฐานของคะแนนสอบเท่ากับเท่าใด

ตอบ  57

 

6.ค่ายนักมวย ก มีนักมวย 9 คน มีน้ำหนักเฉลี่ย 60 กิโลกัม ต่อมานายเขียวแชมป์มวยนักเรียนของจัวหวัดมาสมทบด้วย นายเขียวมีน้ำหนัก 54 กิโลกรัม ก่อนสิ้นปีนั้นมีค่ายนักมวย ข มาสมทบอีก 5 คน มีน้ำหนักเฉลี่ย 63 กิโลกรัม ถ้าน้ำหนักนักมวยไม่เปลี่ยนแปลงในปีดังกล่าว และหาน้ำหนักเฉลี่ยครั้งหลังสุด

1. น้ำหนักเฉลี่ย 60.6 กก.

2. น้ำหนักเฉลี่ยน 59.4 กก.

3. น้ำหนักเเฉลี่ยย 58 กก.

4. น้ำหนักเฉลี่ย 57.2 กก.

ตอบ   ข้อ 1    น้ำหนักเฉลี่ย 60.6 กก

 

7.  ถ้า  X₁ =2 ,  X₂ = 3  ,   X₃ = 1 ,  X ₄= 5   จงหาค่าของ ∑ i = 1- 4 (X_i – 3) ²

^{ตอบ  9}

 

8. คะแนนสอบวิชาสถิติ ของนักเรียน 90 คน

คะแนน       จำนวนนักเรียน

41-50              12

51-60                       15

61-70                       14

71-80                       18

81-90                       15

91-100                     16

จงหาคะแนนที่นักเรียนที่ได้คะแนนน้อยกว่าคะแนนนี้อยู่ประมาณร้อยละ 20

ตอบ   54.5 คะแนน

 

9. ข้อมูลจากกลุ่มตัวอย่าง พี่น้อง 4 คน มี 2 คน น้ำหนักเท่ากัน และหนักน้อยกว่าอีก 2 คน ที่เหลือ ถ้าฐานนิยม มัธยฐาน และพิสัยของน้ำหนักของเด็ก 4 คนนี้คือ 40, 41  และ 6 กิโลกรัมตามลำดับ แล้วความแปรปรวนของน้ำหนักของเด็ 4 คนเท่ากับเท่าใด

ตอบ    8

 

10.  ข้อมูล   3   5     7    8    9    10   12

      ความถี่   5   10   2    4    2    7    10        จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลนี้

 ตอบ  3.18

1. ถุงใบหนึ่งมีลูกแก้วขนาดเดียวกันอยู่ 10 ลูก เป็นสีแดง 3 ลูก สีขาว 5 ลูก สีดำ 2 ลูก สุ่มหยิบลูกแก้วจากถุงสองครั้ง ครั้งละ 1 ลูกโดยไม่ใส่คืน จงหาความน่าจะเป้นที่จะหยิบได้ลูกที่สองเป็นสีแดง

     1. 6/90       2. 21/90       3. 27/90          4.30/90

2. ห้างสรรพสินค่าแห่งหนึ่ง ต้องการพนักงานขายของหน้าร้าน 3 คน มีผู้สมัคร 12 คน เป็นชาย 5 คน นอกนั้นเป็นหญิง จงหาความน่าจะเป็นที่พนักงานที่รับเข้ามา 3 คนนี้นเป็นชายอย่างน้อย 1 คน

      1.14/54      2.37/44      3. 45/54         4.39/44

3.มีแคปซูลซึ่งบรรจุยาชนิดหนึ่งจำนวน 5 แคปซูล ปนกับแคปซูลซึ่งบรรจุแป้งจำนวน 10 แคปซูล ถ้าหยิบมา 2 แคปซูลอย่างสุ่ม ความน่าจะเป็นที่จะได้แคปซูลซึ่งบรรจุยาทั้งสองแคปซูลเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

       1. 2/15      2. 5/15        3. 2/21        4.10/21

4.ในการเลือกกรรมการชุดหนึ่งจากชาย 6 คน หญิง 4 คน ความน่าจะเป็นที่จะเลือกกรรมการ 3 คน ให้มีทั้งหญิงและชายคือ ข้อใดต่อไปนี้

        1. 0.8      2. 0.7           3. 0.5        4. 0.2

5. นำตัวอักษรทั้ง 6 ตัว คือ a, b, c, d, e, f มาเรียงเป็นคำ (อาจไม่มีความหมายก็ได้)                          

ถ้า A เป็นเหตุการณ์ที่ตัวอักษรตัวแรกเริ่มด้วย a หรือ b 

     B เป็นเหตุการณ์ที่ตัวอักษรตัวสุดท้ายเป็นสระเสมอ

จงหา P(A∩B')

     1. 8/35       2. 6/35         3. 4/35         4. 5/35

 

เฉลย    1. 3      2. 2        3. 3       1. 1         1. 1

1. จากอาจารย์ 4 คน นักเรียนชาย 5 คน นักเรียนหญิง 2 คน ต้องการเลือกตัวแทน 4 คน โดยให้มีอาจารย์ 1 คน และนักเรียนหญิงอย่างน้อย 1 คนจำนวนวิธีเลือกเท่ากับในข้อใด

           1. 20       2. 80       3. 100         4. 120

2. สมมติว่ามีไอศครีมอยู่ 5 รส และมีแยมผลไม้สำหรับราดไอศครีมอยู่ 8 ชนิด ถ้าไอศครีมซันเดย์ประกอกด้วยไอศครีม 1 รส และแยมผลไม้อย่างน้อย 2 ชนิด จงหาว่าจะมีกี่วิธีที่จะสั่งไอศครีมซันเดย์

           1. 185 วิธี       2. 252 วิธี         3. 1230 วิธี       4. 1235  วิธี

3. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลอยู่ 9 ลูก แต่ละลูกมีหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ติดอยู่ลูกละหนึ่งหมายเลข ถ้าหยิบลูกบอลออกมาจากกล่อง 2 ลูก จำนวนวิธีที่จะได้ผลบวกของตัวเลขเป็นจำนวนคี่มีค่าเท่ากับเท่าใด

         1. 6       2. 10          3.  20          4. 30

4.ตู้ใบหนึ่งมีเสื้อสีแดงแบบต่างๆกัน 6 ตัว และเสื้อสีขาวแบบต่างๆกัน 4 ตัว  ถ้าสุ่มหยิบเสื้อจากตู้ใบนี้มา 5 ตัว ให้มีสีเสื้อคละกันแล้ว จำนวนวิธีที่จะหยิบได้เสื้อสีแดงมากว่าสีขาวคือข้อใด

         1. 60 วิธี         2. 120 วิธี         3. 180 วิธี        4. 240 วิธี

5.กำหนดรูปแปดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า 1 รูป ถ้าลากเส้นตรงให้ผ่านจุดอย่างน้อย 2 จุด ในบรรดาจุดบอดและจุดกึ่งกลางของด้านของรูปแปดเหลี่ยมที่กำหนดให้ จะสามารถนับเส้นตรงที่ต่างกันได้เท่ากับข้อใด  (ถ้ามีจุดใดอยู่บนเส้นตรงนั้นแล้ว จะนับเส้นตรงนั้นเพียง 1 ครั้ง)

         1. 96          2.  104         3. 120          4. 125

 

เฉลย   1.  3        2. 4       3. 3        4. 3     5. 3

1. มีหนังสือคณิตศาสตร์ต่างกัน 3 เล่ม หนังสือวิทยาศาสตร์ต่างกัน 2 เล่ม หนังสือภาษาอังกฤษต่างกัน 3 เล่ม นำหนังสือดังหล่าวมาจัดบนชั้นเป็นแถวยาวจะจัดได้กี่วิธีถ้า นำมาจัดทั้ง 8 เล่มและให้หนังสือวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน 

      1. 252           2. 325         3. 432           4. 523 

2. การทาสีวงกลม 5 วงที่ติดกัน ด้วยสีอแดง สีน้ำเงิน สีเหลือง สีฟ้า สีส้ม สีดำ สีเขียว จำนวนวิธีที่ทำได้โดยมีเงื่อนไขว่าต้องมีอย่างน้อย 2 วงที่มีสีเหมือนกันเท่ากับเท่าได

      1. 14287       2. 16807         3. 18997     4. 20156

3. วิธีสับเปลี่ยนตัวอักษรคราวละ 4 ตัว จากคำ BOOKKEEPER มีจำนวนวิธีเท่าใด

     1. 5040            2. 758        3. 450         4.360

4.ในการนั่งรับประทานอาหารรอบโต๊ะกลม ซึ่งมี 10 ที่นั่ง ถ้าในบรรดา 10 คน ที่นั่งโต๊ะนี้ สามีภรรยา 2 คู่ ต้องการนั่งติดกันโดยแต่ละคู่ต้องนั่งเคียงข้างกันเสมอ จำนวนวิธีการจัดที่นั่งของคนทั้ง 10 เท่ากับเท่าใด

     1.8(6!)          2. 56(6!)       3. 24(6!)        4.28(5!)

5. ในการจักให้พ่อแม่และลุกสาว 3 คน กับลูกชาย 2 คน นั่งเรียนแถวถ่ายรูป จำนวนวิธีที่จัดให้พ่อแม่นั่งกลาง ลูกสาวทั้งหมดอยู่ข้างหนึ่ง และลูกชายทั้งหมดอยู่ข้างหนึ่งเปเนเท่าใด

      1.22         2. 28          3. 48              4. 52

 

เฉลย  1. 3    2. 1     3. 2    4. 1    5. 3

 

 

                                              

1. มีเก้าอี้ 6 ตัว เรียงกันเป็นแถวตรง มีคน 3 คน คือ นาย ก นาย ข และนาย ค จงหาวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่จะจัดให้คน 3 คน นั่งเก้าอี  6 ตัวนี้โดยที่นาย ก นาย ข และนาย ค นั่งไม่ติดกันเลย

     1. 6 วิธี        2. 20 วิธี        3. 24 วิธี        4. 80 วิธี

2.นาย ก, ข และ ค จะจขึ้นลิฟท์ ซึ่งมีทั้งหมด 3 ตัว จำนวนวิธีที่นาย ก และ ข ขึ้นด้วยกัน แตนาย ค ขค้นคนเดียวมีกี่วิธี

      1. 6 วิธี        2. 5 วิธี          3. 7 วิธี        4. 9 วิธี

3.จงสร้างจำนวนที่มี 4 หลัก จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 โดยตัวเลขในแต่ละหลักซ้ำกันไม่ได้ และเป็นจำนวนคู่มีค่าเกิน 4000 ได้กี่วิธี

       1. 895 วิธี       2. 987 วิธี     3.1512 วิธี        4. 1424 วิธี

4. ในการกำหนดรหัสเป็นเลขสี่หลัก สำหรับแบบสอบถามราชการระดับ 3 และระดับ 4 ในส่วนราชการแห่งหนึ่ง โดยใช้หลักพันแทนส่วนราชการ หลักร้อยแทนระดับ เลขที่ใช้สร้าง คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ถ้าให้เลข 1 แทนส่วนราชการ เลข 3 และเลข 4 แทนระดับ 3 และระดับ 4 ตามลำดับ จำนวนรหัสที่สร้างได้ทั้งหมดเท่ากับกี่วิธี

       1. 128        2. 156     3. 215    4. 287

5. จำนวนคี่ที่อยู่ระหว่าง 100 กับ 999 ซึ่งมีหลักหน่วย และหลักร้อยเป็นจำนวนเฉพาะ มีค่าเท่ากับเท่าใด

       1. 350     2. 380        3. 420       4. 470

     

เฉลย 1. 3     2. 1     3. 3     4. 1    5. 1

1. ในการสร้างเลขสี่หลัก โดยใช้ตัวเลข 6,7,8,9 และผลรวมของตัวเลขแต่ละหลักมีค่าเป็น 34 จะมีวิธีสร้างเท่ากับเท่าไร

เฉลย    การที่ผลวมเท่ากับ 34 จะมี 2 กรณี
          1. เลขแต่ละหลักต้องเป็น 9,9,9,7 ซึ่งสลับกันได้ 4! / 3!
          2. เลขแต่ละหลักต้องเป็น 9,9,8,8 ซึ่งสลับกันได้ 4! / 2!2!
           จำนวนวิธีที่ทำได้เท่ากับ 4! / 3! + 4! / 2!2!

2. มีผ้าเช็ดหน้าสีขาวลายต่างกัน 3 ผืน สีฟ้าลายต่างกัน 2 ผืน สีชมพูลายต่างกัน 2 ผืน จำนวนวิธีที่เรียงผ้าเช็ดหน้า 7 ผืนซ้อนกัน โดยที่ผ้าเช็ดหน้าสีขาวอยู่ติดกันทั้งสามผืนไม่ได้ เท่ากับเท่าไร

เฉลย    7! - 5!3! (คิดจำนวนวิธีทั้งหมดลบด้วยจำนวนวิธีที่ผ้าเช็ดหน้าสีขาวอยู่ติดกันทั้ง 3 ผืน)

3. จำนวนคำที่ได้จากการสร้างคำที่ประกอบด้วยตัวอักษร 5 ตัว จากตัวอักษรของคำว่า "EQUATIONS" โดยให้สระและพยัญชนะอยู่สลับกันมีค่าเท่ากับเท่าไร

เฉลย    ให้ พ = พยํญชนะ และ ส = สระ การคิดต้องแยกเป็น 2 กรณีคือ
            กรณีที่ 1  พ ส พ ส พ  =  5 x 4 x 4 x 3 x 3
            กรณีที่ 2  ส พ ส พ ส  =  4 x 5 x 3 x 4 x 2

4. จัดเด็กหญิง 3 คน และเด็กชาย 3 คน ให้ยืนเรียงแถวตรง จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
          ก. ความน่าจะเป็นที่เด็กชายจะยืนหัวแถวและท้ายแถวคือ 1/5
          ข. ความน่าจะเป็นที่เด็กเพศเดียวกันจะยืนติดกันคือ 1/8

เฉลย      ก. ชายยืนหัวแถวและท้ายแถวได้ 3 x 2 ที่เหลืออีก 4 คน สลับที่กันได้ 4! ความน่าจะเป็นเท่ากับ                     3 x 2 x 4!
                          6!
             ข. นำชาย 3 คนมามัดติดกัน และหญิง 3 คนมามัดติดกันแล้วนำมายืนสลับกัน จะได้ 2!(3! x 3!)
                   ความน่าจะเป็นเท่ากับ  2!(3! x 3!)
                                                       6!

5. สลาก 20 ใบ มีหมายเลขกำกับตั้งแต่ 1 ถึง 20 สลากหมายเลข 1,2,3 และ 4 มีรางวัล 1000, 500, 300 และ 200 บาทตามลำดับ ชายผู้หนึ่งหยิบสลาก 2 ใบ แบบสุ่มจากสลากทั้งหมด ความน่าจะเป็นที่เขาจะได้รางวัลรวมกัน 500 บาทพอดี มีค่าเทากับเท่าใด

เฉลย       การที่จะได้รับรางวัล 500 บาทจะมีได้ 2 กรณี คือ
             1. ได้สลากหมายเลข 3 กับ 4 ซึ่งมี 1 วิธี
             2. ได้สลากหมายเลข 2 กับหมายเลข 5 - 20 อีก 1 ใบ ซึ่งจะมี 16 วิธี
                 ดังนั้น ความน่าจะเป็นเท่ากับ  1 + 16
                                                       C20,2